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神奇的连分数与黄金分割(0.618)构造之美  

2017-08-09 18:01:04|  分类: 【数学之美】 |  标签: |举报 |字号 订阅

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神奇的连分数与黄金分割(0.618)构造之美 - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

  假定有一个长方形,宽是1,长是x(x<1),截掉一个变长x的正方形后,剩下的长方形的长和宽分别是x和(1-x),它与原来的长方形相似,即长宽比不变。

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如果在这个小长方形里再截去一个正方形,剩下的长方形仍和原长方形相似。以此类推,继续下去,可以无穷做下去,所得到的每一个长方形都和最初的长方形有同样的宽长比。这种长方形具有的宽长比就是黄金分割数。

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神奇的连分数——

怎么计算黄金分割比呢?有两种方法——

第一种方法:直接求解上面提到的方程,得到x=(√5-1)/2=0.618.

第二种方法:不是直接求解方程,而是逐渐迭代,例如从这个方程出发,我们可以得到:

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 我们把连分数逐个截断,就有了一串近似分数。随着展开越来越多,连分数的的数值越来越趋向于黄金分割点。

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如果你观察一下这些分数的的分子和分母,就会发现一个有趣的规律——

神奇的连分数与黄金分割(0.618)构造之美 - 真心阳光 - 《真心阳光》博客       一个近似分数的分母刚好是下一个截断近似分数的分子,比如2/3的分母3刚好是3/5的分子,3/5的分母5刚好是5/8的分子,以此类推。还有“1,2,3,5,8,13,21... ,任意相邻两个数之和刚好等于下一个数。——这就是斐波那契数列!

斐波那契数列隐藏在自然界许多动物和植物身上,比如海螺的螺旋形,花椰菜的图案,等等。

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 连分数真是神奇,第一个用连分数的是谁呢?有人说是高斯在研究最大公约数的性质时发现的,也有人说是1579年-Rafael Bombelli,《L'Algebra Opera》 - 与连分数有关的提取平方根的方法。即德国的数学王子高斯!

高斯是怎么做的呢?——比如408和126的最大公约数,是不能直接看出来的。那么高斯用408除以126,得到的商是3,余数是30. 可以写成:408=126x3+30. 然后高斯用除数126继续除以余数30,商是4,余数是6,可以写成126=30x4+6. 最后高斯如法炮制,继续用除数30除以余数6,得到了商6,余数等于0,30=6x5。于是计算结束。所求的最大公约数就是最后一个除数6.  ——

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 我们再来看看自然对数e的连分数展开。——e是无理数。它的十进制前200位没有任何规律。

e = 2·71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 470936999595749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 6427427466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 033429526059563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 ...

 
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没想到无规律的数,经过连分数展开,显现出这么有层次的内部结构!

                                                                                    ——本文来自汪波科学网博客。
                                                             链接地址:
http://blog.sciencenet.cn/blog-813107-1062639.html  

 
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