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数学中有哪些漂亮的无字证明?  

2018-01-10 17:21:50|  分类: 【数学之美】 |  标签: |举报 |字号 订阅

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        无字证明是指仅用图像而无需文字解释就能不证自明的数学命题。由于其不证自明的特性,这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理。 当谈到复杂数学定理的证明时,很多人常常为之色变,认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程。这当然是一个让笔者感到纠结的误解。因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线,而这种亮丽甚至不需要用语言来描述。读者在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外,更从此爱上数学。

1.二倍角公式半角公式

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 2.和角公式

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3.平方求和

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   1. 关于反正切的恒等式

关于反正切,有如下两个很精彩的等式:

arctan1/2+arctan1/3=π/4     acrtan1+arctan2+arctan3=π
 2. 1+3+5+…+(2n-1)= n 2  

4.曲面可以完全由直线构成

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5.勾股定理
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6.求和级数展开
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7.泰勒展开

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 8.多边形外角和等于360度

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  9. 最经典的“无字证明”

1989 年的《美国数学月〉上有一个貌似非常困难的数学问题:下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘,现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部摆满(图中只摆了其中一部分),证明当你摆满整个棋盘后,你所使用的每种菱形数量一定相同。
盘点数学里十大不需要语言的证明 - 真心阳光 - 《真心阳光》博客
 
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文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色,整个图形瞬间有了立体感,看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面,它们的数目显然应该相等。

严格地说,这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起,实在让人拍案叫绝。因此,这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广,深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》(Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection)一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中,类似的流氓证明数不胜数,不过上面这个可能算是最经典的了。

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10. 正十七边形尺规作图——“卡莱尔圆法”

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 图片作者:Aldoaldoz

 正十七边形可以用尺规作出来,这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说,上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。但是,高斯本人实际上并不会做正十七边

形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格给出,而上面的这个方法——托马斯·卡莱尔的“卡莱尔圆法”则要更晚。那高斯怎么就知道正十七边形是可以做出来的呢?因为他懂数学。他知道,如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来,那就意味着这个正多边形能用尺规做出来。(尺规等价于只使用圆和直线的交点作图,直线的表达式是二元一次方程,圆的表达式是二元二次方程,所以只用到了加减乘除和开平方。)而他又证明了,只要正多边形的边数n是费马素数,那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537,所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可做的。

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