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数学的惊艳之美  

2018-01-09 17:44:37|  分类: 【数学之美】 |  标签: |举报 |字号 订阅

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极小曲面(Minimal surface)

说到数学,可能想到的是无法理解的公式、还有永远也算不出来的X先生和α先生。但是很少会有人知道。其实数学也有非常柔美华丽的一面!

1.Richmond的极小曲面(作者Paul Nylander)

  简而言之,极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。

  

  螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面,由Alan Schoen于1970年发现,它可近似定义为一个简单的等曲面方程cos(x)sin(y) + cos(y)sin(z) + cos(z)sin(x) = 0.

  2.超复数分形(hypercomplex fractals)

  超复数类似于通常的二维复数,只不过它们扩充到三维空间甚至更高维空间。超复数分形就是n>=3维的分形,想必高维分形神奇得更令人惊叹吧。

  

  这个超复数分形基于Daniel White富有创造性的三维超复数(三重)公式,通过在球坐标系内作两次连续旋转而成。生成的图像,如星云一般。

  

  是一个三维的Julia集,根据Daniel White的四维超复数开平方。

  

  彩色的四维Julia集,即四元数分形。

  

  采用逆Julia集方法。Dominic Rochon 采用寻找二重复数的平方根公式帮助作者绘制该图,该公式有四个根,所以在每次迭代后,点总数增加了四倍。

  3.分形

  

                             克莱因1/15双尖群分形。一个异彩纷呈的多元宇宙大花园。

   

                             克莱因拟福克斯极限集(Kleinian Quasifuchsian Limit Set)。

  

                                  围绕十二面体的三维树分形。树木繁盛的生态星球。

  

  递归(7,3)庞加莱超双曲盘。圆盘内盛满更小的庞加莱双曲盘,盘内又有盘。小盘呈超双曲多边形,采用一种共形映射技术。

  

               周围镶嵌神马图的曼德布罗集。周围镶嵌的图案呈扭曲状,因为它不是超双曲瓷砖。

  

                                黄金比螺旋轨道(Golden Ratio Spiral Orbit Trap )分形

        

  这是最著名的分形朱莉娅集(Julia set)的一个版本。分形这一概念是曼德布罗特(B.B.Mandelbort)最先提出来的。1967年他在《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。他在这篇文章中把那些部分与整体以某种方式相似的形状称为分形(fractal)。朱莉娅集由法国数学家加斯顿·朱莉娅(Gaston Julia)和皮埃尔·费顿(Pierre Faton)在发展了复变函数迭代的基础理论后获得的。Julia 集是一个典型的分形。

  4.分形的泡泡

  

  理查德·泰勒(Richard Taylor)专门致力于发现这种分形。他在悉尼的一个池塘边拍到这张照片。这群泡泡有1.3个分形维数。

            

  约翰·奥斯特洛维克(John Ostrowick)提议大家去自然中寻找数学美的实例,他说罗马花椰菜就是这样的例子。这张图片是乔恩·苏利文(Jon Sullivan)拍摄的。分形的花椰菜

  5.双螺旋线

  

                   保罗·尼兰德尔(Paul Nylander)保存了一系列数学之美图片。

  6.太空中的螺旋形

  

                           螺旋图样经常见于自然界,也许其中最吸引人的莫过于螺旋星云。

  7.莫比乌斯三叶形谜题

  

                           汤姆·朗丁(Tom Longtin)是一名莫比乌斯带及其变形的粉丝。

  8.莫比乌斯蛋白质

  

  高密度脂蛋白(HDL)的重要组成部分阿朴脂蛋白由一个最大尺寸为12.5纳米的螺旋结构扭结而成。华盛顿大学的麦克·迪卡(Mike Tyka)是一位蛋白质折叠专家,他保存着很多这类图片。

  9.纽结理论

  

  按数学家们的分类,三叶形是最简单的纽结。所谓纽结,就是三维空间中不与自己相交的封闭曲线,或者说是三维空间中与圆周同胚的图形。

  纽结理论要上溯到19世纪。C·F·高斯在1833年研究电动力学时引进了闭曲线之间的环绕数,这是纽结理论的基本工具之一。1880年左右出现了最早的纽结表。1910年M·W·德恩引进纽结群的概念,1928年J·W·亚历山大引进了纽结多项式这个更易处理的不变量。

 

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