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海伦公式的推导  

2018-11-15 10:57:01|  分类: 【数学之美】 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  著名的海伦公式,即用三角形的三条边表示面积的公式,发明权理应归于亚历山大里亚的海伦(Heron of Alexandria)名下,因为这个公式最先出现在海伦的著作《度量学》中。 

海伦本人的推导过程如下: 

(1)如下图所示。 三角形为ABC中,A的对边BC=a,B的对边CA=b,C的对边AB=c。圆I为三角形ABC的内切圆,半径为r,它与三角形三边的切点(也就是圆心I到三边垂线的垂足)分别为D、E、F。于是,ID=IE=IF。AE=AF,BF=BD,CD=CE。图中两个红角相等,两个蓝角相等,两个绿角相等,这也说明一个红角加一个蓝角再加一个绿角等于180度。

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(2)延长BC至G,使CG=AE。从而BD+DC+CG长度等于三角形周长的一半。设这个半周长为s;于是,CG=s-BC=s-a;BD=s-DG=s-(DC+CG)=s-(EC+AE)=s-AC=s-b;DC=s-(BD+CG)=s-(BF+AF)=s-c;

(3)过内心I作IB的垂线,过点C作BC的垂线,两垂线在三角形的边BC的外侧相交于点H。于是,BHCI四点共圆(或四边形BHCI是圆内接四边形)。从而角BHC是角BIC的补角,从而它与绿角AIE相等。从而三角形BCH与三角形AIE相似。再连接IH,IH与DC交于点J。从而有三角形HCJ与三角形DJI相似。我们发现了两对相似三角形,相似三角形对应边成比例,这在下面的证明中将要用到。另外,在直角三角形BJI中有(BD)·(JD)=(ID)^2。

(4)因为上述相似三角形,有

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把上式两边同时加1,得

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把上式两边都乘以一个等于1的比值:

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外项相乘等于内项相乘,

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(5)设三角形ABC的面积为S(注意是大写的,与小写的半周长s不同)。于是,

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于是,

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这个推导很棒!在已知三边长度的情况下,海伦公式用于计算面积很直接、方便。

 现应用该公式来证明等周问题中的一个结论:周长和一边长度不变的三角形中,以不变一边为底的等腰三角形的面积最大。

把半周长s=(a+b+c)/2代入海伦公式中,得

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不妨假设c不变(假设不变的是a或b也行),得:

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根式中是两个因式的乘积。因c不变,所以第一个因式的值是确定的。所以,要想使S取最大值,当且仅当第二个因式达到最大,从而也就是当且仅当(a-b)^2达到最小,也就是a=b。即三角形是以c为底的等腰三角形。  

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