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一个数学天才的最后的直觉性预感终于被证实  

2018-02-05 17:03:00|  分类: 【数学之美】 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       这个故事以一个天才在临死前写下的一封神秘难解的信开头,其暗藏的玄机励许多数学家踏上一个类似于电影《夺宝奇兵》的探险之旅,这不由得让人联想起寻找圣杯的征途,技艺高超的骑士遭遇并克服重重艰难险阻。但本故事中的这些骑士是数学家,而圣杯则被一块数学的罗塞塔石碑所取代,破解它将会揭密一片新的数学天地里隐匿的真理。

       我们的故事从1919年3月27日开始,这一天是拉马努金满载着胜利的荣耀回到祖国印度的日子,然而这次荣归在甜蜜中也夹杂着苦涩和辛酸。

        五年前,接受卓越的英国数学家哈代的邀请,业余数学家拉马努金怀揣着在数学的王国里建功扬名的梦想, 离开印度前往剑桥大学。现在,走下停靠在孟买港的纳戈牙舰的甲板,曾经两度大学退学,凭直觉发现很多不可思议的公式的拉马努金回来了,此时此刻,他已经是一个世界著名的数论专家,他实现了他的目标,在三十一岁这样年青的年龄,拉马努金已经在一系列令人头晕目炫的专业领域里作出了重要贡献:素数的分布,超几何级数,椭圆函数,模形式,概率数论,分划理论,以及 q-级数等等,等等。他发表了三十多篇论文,其中包括和哈代合写的七篇。作为对他的辉煌成就的认可,他被授予三一学院教授称号,这是伊萨克·牛顿爵士曾经享有的头衔。

       令人悲伤的是,拉马努金的回国并不是一个喜庆的场合,他病得很重,比他的印度朋友们记忆中那个圆圆胖胖的拉马努金要瘦削多了。导致他的健康恶化的主要原因之一是营养不良,在一个没有足够资源支持的环境中他坚持素食主义的饮食,此外又受苦于气候的剧烈变化,他习惯了南印度的温暖天气,没有或者是不穿足够保暧的衣服抵御剑桥的阴冷与潮湿,这些因素加在一起把他压垮了。他患上了重病,被诊断出患有肺结核,于是他回到印度来寻求熟悉的环境,宜人的气候,希望能够康复。不幸的是,拉马努金的健康在接下去的一年里持续恶化,1920年4月26日他在马德拉斯(现在的车那弋)病故,他的妻子嘉娜吉陪伴在他的身边。

      令人惊讶的是,尽管受病魔的折磨,拉马努金在他生命的最后一年仍在孤独中研究数学。忍受着所有的病痛和高烧,拉马努金躺在床上,头支在枕上,继续工作。当他需要他的写字板的时候嘉娜吉就会递给他,之后她会整理收集积累起来的布满了数学公式的一叠叠稿纸,把它们放进一只大皮箱中,这是他从英国带回来的。

       嘉娜吉后来回忆这些最后的日子:“他瘦得只剩下了皮包骨头,他常常抱怨剧烈的疼痛,尽管如此他总是忙着做他的数学……,临死前四天他还在潦潦草草地写啊写……”在1920年1月12日写给哈代的最后一封至关重要的信中,拉马努金分享了他的最后一个理论的些许线索:“非常抱歉我没有给你写信,最近我发现了一些很有趣的函数,我把它们称为伪theta函数,它们像普通的theta函数一样美丽地进入数学,我随信给你寄上几个例子……”

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                                          拉马努金临终前写给哈代的最后一封信中的一页

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拉马努金(Ramanujan, 1887-1920)               哈代(G.H. Hardy, 1877-1947)

  

  1920年,躺在病床上奄奄一息的拉马努金在给哈代的一封信中描述了一种酷似theta函数或者说模形式的神秘的函数,像正弦余弦等三角函数一样,theta函数也有一种重复的范式,但这种范式比简单的正弦函数要复杂和微妙得多。theta函数还是“超对称的”,意思是如果一种叫麦比乌斯变换的特别函数作用于其上,它们会变成自身。因为其高度对称性,这些函数在很多数学和物理领域中都很有用,包括弦论。他说它们是在他的梦境中出现的,他对这些函数的性态有直觉的预感。一百年后的今天,研究人员说他们证明了拉马努金是对的。“我们解决了他的最后几封神秘的信件中的问题,对于研究这个数学领域的人来说,该问题已经悬而未决九十年了,” 美国艾莫利大学 (Emory University) 的日裔数学家小野(Ken Ono)说。

 拉马努金没能证明他的直觉性的预感就离开了人世,但九十多年以后,小野和他的团队证实了这些函数的确酷似模形式,但却不具有其本质特征如超对称性。伪模形式的展开式可以帮助物理学家计算黑洞的熵或者说无序程度。小野说,拉马努金发展的伪模形式大大超越了他的时代。直到2002年,数学家们才搞清楚这些方程属于哪个数学分支,现在人们意识到,拉马努金留下的遗产比任何人在他去世时所能想象的都要重要得多。 

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