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神奇的“克莱因瓶”—— 一个只能存在于四维世界的东西  

2018-03-27 18:54:19|  分类: 【科普技术】 |  标签: |举报 |字号 订阅

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神奇的“克莱因瓶”—— 一个只能存在于四维世界的东西 - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

       

在物理界中,总是会有一些很神奇的东西。比如这个克莱因瓶,就是一个看起来很纠结的东西。可能初次看见,觉得没什么的,但实际上,克莱因瓶没有内外之分,它是一个只能存在于四维世界的东西,现实生活中是不存在的...

       1882年,著名数学家菲立克斯?克莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的(也就是说没有边)曲面,但是它却只有一个面。在图片上我们看到,克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话,我们就会得到一个轮胎面。

神奇的“克莱因瓶”—— 一个只能存在于四维世界的东西 - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

       我们可以说一个球有两个面——外面和内面,如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一个洞,就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样,有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同我们很容易想象,一只爬在“瓶外”的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。

                                                                     菲立克斯?克莱因

     如果我们观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢?我们用扭节来打比方。看底下这个图形

           如果我们把它看作平面上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好象最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有人这样理解:克莱因瓶就是三维物体在四维空间的扭曲!这么说吧,可以把克莱因瓶的初始状态看作是一个空心球,空心球外面叫外空间,里面叫内空间,正常情况下外空间和内空间永远是互不可达的,而在四维空间下,把这个三维空心球扭曲形成了克莱因瓶的样子,使得外空间和内空间互通,形成一个三维空间。原始空心球内外空间可类比为莫比乌斯带正反两个面。

                              1. 莫比乌斯带——

 

2.“8字形”克莱因瓶——

         大家都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度,再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一个面的曲面,但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是,它有边(注意,它只有一条边)。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来,你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了,我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合,否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地,如果把一个克莱因瓶适当地剪开来,我们就能得到两条莫比乌斯带。

     除了我们上面看到的克莱因瓶的模样,还有一种不太为人所知的“8字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同,但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶。

  德国数学家克莱因就曾提出了“不可能”制造出拓扑学的大怪物——克莱因瓶。这种瓶子根本没有内外之分,无论从什么地方穿透曲面,到达之处依然在瓶的外面,所以,它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。 但英国贝德福德的一位玻璃吹制工Alan Bennett 用玻璃吹制出了克莱因瓶

       数学中有一个重要分支叫“拓扑学”,主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的,克莱因瓶和莫比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑,艺术,工业生产中。

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