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为什么两点之间并非直线最快?  

2018-04-12 10:55:31|  分类: 【科普技术】 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  当我们讨论最快的时候,我们讨论的不是三维空间最短的距离,而是四维时空中的测地线,在有引力的情况下(这里是重力加速度g),四维时空有曲率,测地线投射到三维空间就是最速降线——为什么两点之间不是直线最快? - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

最速曲线,从字面上理解,“速度”最快的曲线,那这里的“速度”是指平均速度、瞬时速度,抑或是速率。物理上有一个著名的最速落径问题,竖直平面内,不在同一铅锤线上的两个固定点之间的许多条曲线路径中,能使质点在重力的作用下以最短的时间从高位置点落到低位置点自由落下的那条曲线,称为最速落径,是一条旋轮线。

两点之间最快的竟然不是直线 

两点之间最快的竟然不是直线 - 理睬 - .

 

 两点之间最快的竟然不是直线 - 理睬 - .

 

两点之间最快的竟然不是直线 - 理睬 - .

为什么两点之间不是直线最快? - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

如图所示,A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2)质点从A点沿曲线无摩擦下滑到B点,我们以A点同时作为零势能点和坐标原点,质点(x,y)代表其运动轨迹,根据能量守恒定律,不难得出质点下滑的瞬时速率为:

利用弧长公式得到下滑的总时间为:

下面需要对时间求极值,以得到最短时间对应的y的方程,利用欧拉方程求解,最后得到:

为什么两点之间不是直线最快? - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

为什么两点之间不是直线最快? - 真心阳光 - 《真心阳光》博客

此参数方程对应的旋轮线即为“最速曲线”。关于欧拉方程的详细求解,可以参考卢圣治主编的《理论力学基本教程》(第二版)180-187页。准备高考的同学们不妨思考一下在正交静电场与磁场下的带电粒子运动路径,聪明的你一定能解出来它是什么!

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